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知识改变命运 数据结构 【二叉树】
1. 树型结构（了解）
1.1 概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点： 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <=m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继树是递归定义的。
注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
一棵N个结点的树有N条边
1.2 概念（重要）
结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为6 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为6 叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推 树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4（树的高度，就是这棵树最大的深度，深度 ：有时候问某节点的深度/层次）； 树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可： 非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如上图：D、E、F、G…等节点为分支结点 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林
1.3 树的表示形式（了解）
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
代码语言：javascript代码运行次数：0运行复制class Node {
int value; // 树中存储的数据
Node firstChild; // 第一个孩子引用
Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}1.4 树的应用
文件系统管理（目录和文件）
2. 二叉树（重点）
2.1 概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
- 或者为空
- 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
从上图可以看出： 3. 二叉树不存在度大于2的结点 4. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树 注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
2.2 两种特殊的二叉树
1**. 满二叉树:** 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵 二叉树的层数为K，且结点总数是2^K-1,则它就是满二叉树。 2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
完全二叉树是自上而下，自左到右排列的。
所以第二种不是完全二叉树
2.3 二叉树的性质
- 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^（i-1 ）(i>0)个结点，例子：满二叉树。
- 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2^k-1(k>=0) (满二叉树)
- 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
- 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i 的结点有： 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子
- 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ） A 不存在这样的二叉树 B 200 C 198 D 199 2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ） A n B n+1 C n-1 D n/2 3.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（） A 383 B 384 C 385 D 386 4.一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ ） A 11 B 10 C 8 D 12 答案： 1.B 2.A 3.B 4.B
2.4 二叉树的存储
二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。 顺序存储在下篇博客讲解 二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：
代码语言：javascript代码运行次数：0运行复制// 孩子表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
Node parent; // 当前节点的根节点
}孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍，本文采用孩子表示法来构建二叉树。
2.5 二叉树的基本操作
2.5.1 前置说明
在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于刚开始对二叉树结 构掌握还不够深入，为了降低学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等 二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。、
代码语言：javascript代码运行次数：0运行复制public class BinaryTree{
public static class BTNode{
BTNode left;
BTNode right;
int value;
BTNode(int value){
this.value = value;
}
}
private BTNode root;
public void createBinaryTree(){
BTNode node1 = new BTNode(1);
BTNode node1 = new BTNode(2);
BTNode node1 = new BTNode(3);
BTNode node1 = new BTNode(4);
BTNode node1 = new BTNode(5);
BTNode node1 = new BTNode(6);
root = node1;
node1.left = node2;
node2.left = node3;
node1.right = node4;
node4.left = node5;
node5.right = node6;
}
}注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。 再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念 ，二叉树是：
- 空树
- 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的
从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。
2.5.2 二叉树的遍历
- 前中后序遍历 学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结 点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加 1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。
在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按 照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的 左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式： NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。 LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。 LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。 下面主要分析前序递归遍历，中序与后序图解类似，
前序遍历结果：1 2 3 4 5 6 中序遍历结果：3 2 1 5 4 6 后序遍历结果：3 1 5 6 4 1
- 层序遍历 层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在 层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层 上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
选择题
代码语言：javascript代码运行次数：0运行复制1.某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为()
A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA
2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为()
A: E B: F C: G D: H
3.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为()
A: adbce B: decab C: debac D: abcde
4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出(同一层从左到右)的序列为()
A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF
【参考答案】 1.A 2.A 3.D 4.A2.5.3 二叉树的基本操作
代码语言：javascript代码运行次数：0运行复制// 获取树中节点的个数
int size(Node root);
// 获取叶子节点的个数
int getLeafNodeCount(Node root);
// 子问题思路-求叶子结点个数
// 获取第K层节点的个数
int getKLevelNodeCount(Node root,int k);
// 获取二叉树的高度
int getHeight(Node root);
// 检测值为value的元素是否存在
Node find(Node root, int val);
//层序遍历
void levelOrder(Node root);
// 判断一棵树是不是完全二叉树
boolean isCompleteTree(Node root);实现下列二叉树
public class ClassTowTree {
static class TreeNode{
public char val;
TreeNode lief;
TreeNode right;
public TreeNode(char val) {
this.val = val;
}
}
public TreeNode creatTree(){
TreeNode A=new TreeNode('A');
TreeNode B=new TreeNode('B');
TreeNode C=new TreeNode('C');
TreeNode D=new TreeNode('D');
TreeNode E=new TreeNode('E');
TreeNode F=new TreeNode('F');
TreeNode G=new TreeNode('G');
TreeNode H=new TreeNode('H');
A.lief=B;
B.lief=D;
B.right=E;
E.right=H;
A.right=C;
C.lief=F;
C.right=G;
return A;
}
//前序遍历
public void preOrder(TreeNode root) {
if(root==null){
return;
}
System.out.print(root.val+" ");
preOrder(root.lief);
preOrder(root.right);
}
//中序遍历
public void inOrder(TreeNode root) {
if(root==null){
return;
}
inOrder(root.lief);
System.out.print(root.val+" ");
inOrder(root.right);
}
//后序遍历
public void postOrder(TreeNode root) {
if(root==null){
return;
}
postOrder(root.lief);
postOrder(root.right);
System.out.print(root.val+" ");
}
// 获取树中节点的个数
int size(TreeNode root) {
if(root==null) {
return 0;
}
return size(root.left)+size(root.right)+1;
}
//获取叶子节点的个数
int getLeafNodeCount(TreeNode root) {
if(root==null) {
return 0;
}
if(root.left==null&&root.right==null) {
return 1;
}
return getLeafNodeCount(root.left)+getLeafNodeCount(root.right);
}
// 获取第K层节点的个数
int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k) {
if (root==null) {
return 0;
}
if(k==1) {
return 1;
}
return getKLevelNodeCount(root.left,k-1)+getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
}
// 获取二叉树的高度
int getHeight(TreeNode root) {
if(root==null) {
return 0;
}
int leftHeight=getHeight(root.left);
int rightHeight=getHeight(root.right);
return Math.max(leftHeight+1,rightHeight+1);
}
// 检测值为value的元素是否存在
TreeNode find(TreeNode root, char val) {
if (root==null) {
return null;
}
if(root.val==val) {
return root;
}
TreeNode left=find(root.left,val);
if(left!=null) {
return left;
}
TreeNode right=find(root.right,val);
if (right!=null) {
return right;
}
return null;
}
//层序遍历
void levelOrder(TreeNode root) {
if(root==null) {
return;
}
Queue<TreeNode> queue=new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while(!queue.isEmpty()) {
TreeNode cur=queue.poll();
System.out.print(cur.val);
if(cur.left!=null) {
queue.offer(cur.left);
}
if(cur.right!=null) {
queue.offer(cur.right);
}
}
}本文标签： 知识改变命运 数据结构 二叉树
版权声明：本文标题：知识改变命运 数据结构 【二叉树】 内容由林淑君副主任自发贡献，该文观点仅代表作者本人， 转载请联系作者并注明出处：http://www.xiehuijuan.com/baike/1754746498a1705891.html， 本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容，一经查实，本站将立刻删除。
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