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蓝桥杯

算法分类：

动态规划 dp

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问题描述

X 国王有一个地宫宝库，是 n×m 个格子的矩阵，每个格子放一件宝贝，每个宝贝贴着价值标签。

地宫的入口在左上角，出口在右下角。

小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。

走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。

当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是 k 件，则这些宝贝就可以送给小明。

请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这 k 件宝贝。

输入格式
第一行 3 个整数，n,m,k，含义见题目描述。

接下来 n 行，每行有 m 个整数 Ci 用来描述宝库矩阵每个格子的宝贝价值。

输出格式
输出一个整数，表示正好取 k 个宝贝的行动方案数。

该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。

样例

数据范围
1≤n,m≤50,
1≤k≤12,
0≤Ci≤12
输入样例1：
2 2 2
1 2
2 1
输出样例1：
2
输入样例2：
2 3 2
1 2 3
2 1 5
输出样例2：
14

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原因分析：

分析思路 首先 拿到题目会发现题目所给条件非常复杂 分析条件可知 需要解决在方格中恰好取k件物品的不同方案数

因此 考虑状态表示 根据闫氏思考法考虑dp问题 首先路径需要两位维(根据摘花生问题思考 状态表示应该为4维状态 f[i][j][k][c] 表示从(1,1)走到(i,j)时 恰好取k个方案时，且最后一次取得的物品价值为C的方案数

如下图所示 考虑状态计算 在划分状态时 首先考虑最简单的问题 也就是摘花生的问题 元素是从上到下还是从左到右到达该位置的 f[i-1][j] 和 f[i][j-1] 再继续划分

在这两种情况下 根据题目所给条件 最后的方案一定是取k个物品 根据01背包的思考模式 考虑最后一个物品选还是不选 依次为划分依据 不选的时候比较简单 表示不选最后一个格子的物品 也就是f[i][j-1][u][v]和f[i-1][j][u][v]

在选最后一个物品这种情况下 因为题目要求要保证选取的物品价值是单调上升的 所以对于选择最后一个物品这种方案，需要枚举他选择的倒数第二件物品的价值(这里的思考方式参考最长上升子序列问题 )

 

这样就得到了状态计算的方程 注意本题中的细节 1.初始化两个状态 2.枚举选择的物品个数应该从0枚举到k 物品的价值应该从0枚举到13 具体原因见代码注释 

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实现代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 55;
const int MOD = 1000000007;
//f[i][j][k][c] 这里的状态方程表示为从(1,1)到(i,j) 刚好取k个物品，且最后一次取的物品的价值为C的方案的个数
int f[N][N][13][14];
int w[N][N];
int n,m,k;
int main(){cin >> n >> m >>k;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++){cin >> w[i][j];w[i][j]++;//这里因为后面用到了价值为-1的点 避免数组越界 让价值从0-12 变成1-13}f[1][1][1][w[1][1]] = 1;f[1][1][0][0] = 1;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){if(i==1 && j==1) continue;for(int u=0;u<=k;u++){for(int v=0;v<=13;v++){int &val = f[i][j][u][v];//不取当前格子的物品//从上到下选择val = (val + f[i-1][j][u][v])%MOD;//从左到右选择val = (val + f[i][j-1][u][v])%MOD;//取当前格子的物品 只有当取的格子的价值为C时才可以if(u>0 && v==w[i][j]){for(int c =0;c<v;c++){//从上到下选择val = (val + f[i-1][j][u-1][c])%MOD;//从左到右选择val = (val + f[i][j-1][u-1][c])%MOD;}}}}}}int res = 0;for(int i=0;i<=13;i++) res =(res + f[n][m][k][i]) %MOD;cout<<res<<endl;return 0;}

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