梯度下降求解逻辑回归2（代码编写以及三种梯度下降对比）

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梯度下降求解逻辑回归2（代码编写以及三种梯度下降对比）

*上一篇是理论知识、背景介绍以及大体的实现方向，这一篇是具体代码实现

代码编写

我们的功能模块：

• 写出sigmoid函数，返回被录取的概率，即映射到概率

g(z)=11+e−z g ( z ) = 1 1 + e − z

• 写出model函数，返回预测结果值，即X（样本值）与theta的矩阵相乘结果

(θ0θ1θ2)×⎛⎝⎜1x1x2⎞⎠⎟=θ0+θ1x1+θ2x2 ( θ 0 θ 1 θ 2 ) × ( 1 x 1 x 2 ) = θ 0 + θ 1 x 1 + θ 2 x 2

• 写出cost函数，实现计算损失函数，目的是度量预测值与真实值的拟合程度

将对数似然函数去负号

D(hθ(x),y)=−ylog(hθ(x))−(1−y)log(1−hθ(x)) D ( h θ ( x ) , y ) = − y log ⁡ ( h θ ( x ) ) − ( 1 − y ) log ⁡ ( 1 − h θ ( x ) ) 求平均损失 J(θ)=1n∑i=1nD(hθ(xi),yi) J ( θ ) = 1 n ∑ i = 1 n D ( h θ ( x i ) , y i )

• 写出gradient函数，来计算每个样本的梯度方向，即学习方向，梯度下降的方向

  ∂J∂θj=−1m∑i=1n(yi−hθ(xi))xij ∂ J ∂ θ j = − 1 m ∑ i = 1 n ( y i − h θ ( x i ) ) x i j

• 设置停止策略模式

• descent函数，实现参数 θ θ 的更新

• accuracy函数，计算精度

整体代码如下：

import os import time import numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt import numpy.random %matplotlib inline def sigmoid(z): return 1 / (1 + np.exp(-z)) def model(X, theta): # 预测函数 得到预测结果 矩阵相乘 return sigmoid(np.dot(X, theta.T)) def cost(X, y, theta): # 计算损失函数 按照公式 left = np.multiply(-y, np.log(model(X, theta))) # 左边的连乘 right = np.multiply((1 - y), np.log(1 - model(X, theta))) # 右边的连乘 return np.sum(left - right) / (len(X)) def gradient(X, y, theta): # 求解梯度 grad为 theta梯度的更新值 grad = np.zeros(theta.shape) error = (model(X, theta) - y).ravel() for j in range(len(theta.ravel())): temp = np.multiply(error, X[:,j]) grad[0, j] = np.sum(temp) / len(X) return grad # 设定三种停止策略 分别是按迭代次数、按损失函数的变化量、按梯度的变化量 STOP_ITER = 0 STOP_COST = 1 STOP_GRAD = 2 # threshold为指定阈值 def stopCriterion(stype, value, threshold): #设定三种不同的停止策略 if stype == STOP_ITER: return value > threshold # 按迭代次数停止 elif stype == STOP_COST: return abs(value[-1]-value[-2]) < threshold # 按损失函数是否改变停止 elif stype == STOP_GRAD: return np.linalg.norm(value) < threshold # 按梯度大小停止 def shuffleData(data): # 洗牌 防止数据有一定的排列规律 np.random.shuffle(data) cols = data.shape[1] X = data[:, 0:cols-1] y = data[:, cols-1:] return X, y def descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha): # 最主要的函数 梯度下降求解 # batchSize：为1代表随机梯度下降 为整体值表示批量梯度下降 为某一数值时表示小批量梯度下降 # stopType 停止策略类型 # thresh 阈值 # alpha 学习率 init_time = time.time() i = 0 # 迭代次数 k = 0 # batch 迭代数据的初始量 X, y = shuffleData(data) grad = np.zeros(theta.shape) # 计算的梯度 costs = [cost(X, y, theta)] # 损失值 while True: # batchSize为指定的梯度下降策略 grad = gradient(X[k:k+batchSize], y[k:k+batchSize], theta) k += batchSize #取batch数量个数据 if k >= n: k = 0 X, y = shuffleData(data) #重新洗牌 theta = theta - alpha*grad # 参数更新 costs.append(cost(X, y, theta)) # 计算新的损失 i += 1 if stopType == STOP_ITER: value = i elif stopType == STOP_COST: value = costs elif stopType == STOP_GRAD: value = grad if stopCriterion(stopType, value, thresh): break return theta, i-1, costs, grad, time.time() - init_time def runExpe(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha): # 损失率与迭代次数的展示函数 theta, iter, costs, grad, dur = descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha) name = "Original" if (data[:,1]>2).sum() > 1 else "Scaled" name += " data - learning rate: {} - ".format(alpha) if batchSize == n: strDescType = "Gradient" elif batchSize == 1: strDescType = "Stochastic" else: strDescType = "Mini-batch ({})".format(batchSize) name += strDescType + " descent - Stop: " if stopType == STOP_ITER: strStop = "{} iterations".format(thresh) elif stopType == STOP_COST: strStop = "costs change < {}".format(thresh) else: strStop = "gradient norm < {}".format(thresh) name += strStop print("***{}\\nTheta: {} - Iter: {} - Last cost: {:03.2f} - Duration: {:03.2f}s".format( name, theta, iter, costs[-1], dur)) fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,4)) ax.plot(np.arange(len(costs)), costs, 'r') ax.set_xlabel('Iterations') ax.set_ylabel('Cost') ax.set_title(name.upper() + ' - Error vs. Iteration') return theta path = 'data' + os.sep + 'LogiReg_data.txt' # 载入数据（训练集） pdData = pd.read_csv(path, header=None, names=['Exam1', 'Exam2', 'Admitted']) pdData.insert(0, 'Ones', 1) # in a try / except structure so as not to return an error if the block si executed several times orig_data = pdData.as_matrix() cols = orig_data.shape[1] X = orig_data[:,0:cols-1] y = orig_data[:,cols-1:cols] theta = np.zeros([1, 3]) 成果展示

首先我们执行批量梯度下降策略，并设置迭代次数为停止策略：

# 设定迭代次数为50000次 n = 100 runExpe(orig_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=50000, alpha=0.000001)

结果如下：

***Original data - learning rate: 1e-06 - Gradient descent - Stop: 50000 iterations Theta: [[-0.00341509 0.01035718 0.00056757]] - Iter: 50000 - Last cost: 0.63 - Duration: 9.24s array([[-0.00341509, 0.01035718, 0.00056757]])

之后再设置为随机梯度下降策略，并设置迭代次数为停止策略：

# 为了快速 设置迭代次数为 5000 runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)

结果如下：

***Original data - learning rate: 0.001 - Stochastic descent - Stop: 5000 iterations Theta: [[-0.38444806 -0.00892323 -0.02050201]] - Iter: 5000 - Last cost: 1.64 - Duration: 0.33s array([[-0.38444806, -0.00892323, -0.02050201]])

可以看出我们的损失函数非常不稳定，那么我们把学习率调低一些再看看结果：

runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.000002)

***Original data - learning rate: 2e-06 - Stochastic descent - Stop: 15000 iterations Theta: [[-0.00202099 0.01001901 0.000949 ]] - Iter: 15000 - Last cost: 0.63 - Duration: 0.91s array([[-0.00202099, 0.01001901, 0.000949 ]])

可以看出来损失函数基本收敛，速度是挺快的，但是整体不是很稳定。 我们再试试小批量梯度下降策略：

# 设置迭代次数为 15000次结束 runExpe(orig_data, theta, 16, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.001)

结果如下：

***Original data - learning rate: 0.001 - Mini-batch (16) descent - Stop: 15000 iterations Theta: [[-1.03877323 0.02183561 0.01401876]] - Iter: 15000 - Last cost: 0.60 - Duration: 1.17s array([[-1.03877323, 0.02183561, 0.01401876]])

结果很是糟糕，浮动仍然比较大，我们来尝试下对数据进行标准化 将数据按其属性(按列进行)减去其均值，然后除以其方差。最后得到的结果是，对每个属性/每列来说所有数据都聚集在0附近，方差值为1（数据标准化）。 至于为什么要进行数据标准化，我会再以后的文章里进行讨论。

from sklearn import preprocessing as pp # 引入sklearn 进行数据处理 scaled_data = orig_data.copy() scaled_data[:, 1:3] = pp.scale(orig_data[:, 1:3])

之后，我们再进行批量梯度下降策略的执行：

# 设置迭代5000次 runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)

结果如下：

***Scaled data - learning rate: 0.001 - Gradient descent - Stop: 5000 iterations Theta: [[ 0.3080807 0.86494967 0.77367651]] - Iter: 5000 - Last cost: 0.38 - Duration: 1.03s array([[ 0.3080807 , 0.86494967, 0.77367651]])

它好多了！原始数据，只能达到达到0.61，而我们得到了0.38个在这里！ 所以对数据做预处理是非常重要的 但是我们对最终结果不是很满意，迭代次数似乎有些少了。这时，我们再改变停止策略试一下：

# 使用批量梯度下降策略并设置以梯度变化量为停止策略 runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_GRAD, thresh=0.02, alpha=0.001)

结果如下：

***Scaled data - learning rate: 0.001 - Gradient descent - Stop: gradient norm < 0.02 Theta: [[ 1.0707921 2.63030842 2.41079787]] - Iter: 59422 - Last cost: 0.22 - Duration: 12.02s array([[ 1.0707921 , 2.63030842, 2.41079787]])

可以看出来更多的迭代使得损失下降的更多！，我们最终的损失达到了0.22！

再试试随机梯度下降策略：

# 设置为随机梯度下降并使得停止策略为梯度的变化 theta = runExpe(scaled_data, theta, 1, STOP_GRAD, thresh=0.002/5, alpha=0.001)

结果如图：

***Scaled data - learning rate: 0.001 - Stochastic descent - Stop: gradient norm < 0.0004 Theta: [[ 1.1491578 2.7927126 2.56466683]] - Iter: 72562 - Last cost: 0.22 - Duration: 5.36s

最终损失也是0.22，同时耗费时间也比批量梯度下降少了一半还多！但是迭代次数却增加了。 可以发现使用随机梯度下降使得下降更快了，但是迭代次数却增加了，所以我们使用小批量梯度下降：

# 使用小批量梯度下降（每次取16个数据） 并设置梯度改变的阈值为 0.002*2 theta = runExpe(scaled_data, theta, 16, STOP_GRAD, thresh=0.002*2, alpha=0.001)

***Scaled data - learning rate: 0.001 - Mini-batch (16) descent - Stop: gradient norm < 0.004 Theta: [[ 1.15563838 2.8082394 2.57601557]] - Iter: 1252 - Last cost: 0.22 - Duration: 0.14s

可以很神奇的发现：我们的曲线并不光滑，却最终收敛在了0.22，并且迭代次数、运行时间都优于上面两种策略！ 因此我们可以得出结论：在本案例中使用小批量梯度下降策略时相对较优的。

精确度的测量

最后我们再用小批量梯度下降所预测的数据来和真实数据做对比，测量一下精度：

#设定阈值 def predict(X, theta): return [1 if x >= 0.5 else 0 for x in model(X, theta)] scaled_X = scaled_data[:, :3] y = scaled_data[:, 3] predictions = predict(scaled_X, theta) correct = [1 if ((a == 1 and b == 1) or (a == 0 and b == 0)) else 0 for (a, b) in zip(predictions, y)] accuracy = (sum(map(int, correct)) % len(correct)) print ('accuracy = {0}%'.format(accuracy))

结果为：

accuracy = 89% 结语

本博客是对唐宇迪教学视频的大体总结，包含了本人对算法的理解。 学完这个小案例之后，对梯度下降求解逻辑回归有了一个大体而感性的认识，希望能作为入门的一个小小教程。

本文标签： 梯度三种逻辑代码