时间序列分析（一）:平稳过程

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时间序列分析（一）:平稳过程

1.导论

假设我们按照离散时间顺序观察的某个量 X ,比如每隔一小时观测某地的气温，这样便得到一列气温序列 \\{X_n: n=0,\\pm传道解惑1,\\pm2日本屎宴,\\cdots\\} 。我们对 \\{X_n: n=0,\\pm1,\\pm2,\\cdots\\} 进行统计建模，认为它是一列随机变量。因为该序列随着时间进行演化，故称为时间序列。事实上在生活中我们可以观察到很多时间序列的例子，比如某数字生命只股票每天收盘的价格，或者某只基金的每天收益率女明星合成图等。人们希望通过观察某段时间序列，建立统计模型估计它的统计演化规律，进而能够预测将来的值。

2. 定义 1 令n=0,\\pm1,\\pm2,\\cdots\\ 为时间格点，随机变量序列 \\{X_柴胡桂枝汤n: n=0,\\pm1,\\pm2,\\cdots\\} 称为一时间序列。

在实际问题中，我们只能观察一段时间的序列，比如 \\{x_0,x_1,\\cdots,x_n\\} 。我们希望通过这一有限观察序列值，找到一个合适的统计模型能够解释它干白葡萄酒怎么喝的演化过程，并利用该模型对将来的值进行预测和控制。脂肪粒怎么去掉

3. 平稳过程

平稳过程是一类常见的时间序列统计模型。很多时间序列具备平稳三国杀年兽性的特征。所谓平稳性是指不随时间发生改变的统计特征。平稳过程分为严平稳和弱平稳。

定义2 \\{X_n: n=0,\\pm1,\\pm2,\\cdots\\} 称为弱平稳，如果二阶矩存在且满足

（1） E送妈妈什么礼物最实用(X_n)与 n 无关；

（2） Var(X_n) 与 n 无关；

（3）对于任意的 n,m ，Cov(X_{n+k},X_{m+k}) 与 k 无关。

定义3 \\{X_n: n=0,\\pm1,\\pm2,\\cdots\\} 称为严平稳，如果对于任何正美化桌面整数 n\\geq 1以及任意整数 k

, \\{X_1,X_2,\\cdots,X_n\\} 和 玛雅文字\\{X_{1+k},X_{2+k},\\cdots,X_{n+k}\\} 分布相同。

显然，一个二阶矩存在的严平稳过程是弱平稳过程。

4.自相关系数

令 \\rho(X_n,X_m) 为 X_n,X_m 的相关系数， \\rho_k=\\rho(X_0,X_k) ，则 \\rho_0=1,\\rho_k=\\rho_{-k}=\\rho(X_n,X_{n+k})=\\rho(X_{n+k},X_{n}) 。称 \\rho_k 为间隔为 k 自相关系数。

5.自相关系数的估计

若 x_0,座椅滑轨x_1,x_2,\\cdots,x_T为一列观测值，那么 \\rho_k 的估计为 \\hat\\rho_k=\\frac{\\sum^T_{i=k}(x_i-\\bar x)(x_{i-k}-\\bar x)}{\\sum^T_{i=0}(x_i-\\bar x)^2} 。可以证明该估计为相合估计。

6.投连白噪声

\\{\\omega_n: n=0,\\pm1,\\pm2,\\cdots\\} 称为白噪声，如果二阶矩存在，均值为0，方差为大于0的常数，两两互不相关。如果 \\omega_n\\sim N(0,\\sigma^2) ,则称 \\{\\omega_n: n=0,\\pm1,\\pm2,\\cdots\\} 为高斯白噪声。显然对于白噪声来说， \\rho_k=0,k\\ne 0 。

7.白噪声的检验

给定一时间序列的观测值 x_0,x_1,x_2,\\深圳旅游攻略cdots,x_T ，对于任意 k>0 检验 \\rho_k 是否为0？

（1）H_0:\\rho_k=0\\quad VS \\quad H_1:\\rho_k\\neq 微波杀菌0

检验统计量： t=\\sqrt T \\hat\\rho_k

可以证明在 H_0 成立的条件下， t 近似地服从 N(0,1) 。

（2）混成检验

H_0:\\rho_1=\\rho_2=\\cdots=\\rho_m=0 vs H_1: 至少一个 \\rho_k\\neq 0 , k=1,2,\\cdots,m

检验统计量： Q^*(m)=T\\sum^m_{l=1}\\hat\\rho_l^2

在 \\{X_n: n=0,\\pm1,\\pm2,\\cdots\\} 为白噪声的条件下， Q^*(m) 近似服从 \\chi^2(m) .

为了提高检验的功效，Ljung和Box把 Q^*(m) 修正为Q(m)=T(T+2）\\sum^m_{l=1}\\hat\\rho_l^2/(T-l) .

一般建议 m\\approx ln(T) .Ljung和Box检验常用来检验一平稳序列是否为白噪声。

8.白噪声检验

橡胶林的回忆 任给一时间序列，首先我们先诊断是否为白噪声。如果是白噪声，就无需对该序列建立统计模型。对于给定的时间序列，首先我们先计算自相关系数，然后利用Ljung和Box检验来一序列是否为白噪声。下面结合R来说明白噪声的检验。

首先生成一个正态白噪声，然后计算自相关系数，最后给出Ljung和Box检验。

sci论文是什么> x<-rnorm(1000)

> plot(ts(x))

> sx<-ts(x)

> plot(sx)

> acf(sx)

> Box.test(sx,12,"Ljung")

Box-Ljung test

data: sx

X-squared = 10.512, df = 12, p-value = 0.5711

检验的p值为0.5711.说明该序列为白噪声。

9 航空数据分析

R软件基本包中有一个经典的航空数据"AirPassengers"。下面我们判断该序列是否为白噪声。

首先调入该数据，并对画出时间序列图。

> data(AirPassengers)

> AP<-AirPassengers

> plot(湘西土匪AP)

显然看出该连续不为白噪声。

> acf(AP)

Ljung和Box检验：

> Box.test(AP,12,"Ljung")

Box-Ljung test

data: AP

X-squared = 1036.5, d油画大师f = 12, p-value < 2.2e-16

检验的P值< 2.2e-16，说明该序列的相关系数显著不竹简书为0，该序列不是白噪声。

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