从零开始的微积分教程（零）

admin管理员组

文章数量:1794759

从零开始的微积分教程（零）

　　首先我们来了解微积分为什么出现。

　　这就涉及到一个概念，叫做数系。

　　不要担心，这个概念非常简单。放轻松，让我讲个小故事：

　　在很久很久以前，山的那边海的那边有一群可爱的蓝精灵。他们调皮又灵敏，他们可爱又聪明。有一天蓝精灵国王想要知道他究竟有多少子民，于是他就数哇：

　　“1个，2个，3个，4个，5个……”

　　蓝精灵是一个个单独可分的个体，这个就叫正整数集。有了正整数，国王就能顺利地数出他有多少子民啦！

　　等等，怎么又多出个数集？这又是啥玩意儿？

数集其实就是数的组织。 \\left\\{1,3,5,7,9,11 \\right\\} 就是一个数集。 \\left\\{ x|x是从1到11的奇数 \\right\\} 也是一个数集，并且和前面的数集内容相同。这个数集还是 \\left\\{ x|x是正整数 \\right\\} 也就是正整数集的“下设部门”，数学上叫这个数集包含于正整数集。而前两个数集相互包含，所以我们可以说它们相等。

　　现在我们要考验正整数集成员的忠诚。如果这个数集的成员都很忠诚，那么我们就可以把这个组织提拔成数系了。怎么考验呢？中国人民大学校花

　　我们随便从这个数集里抓两个数，对！就你了，还有你！9还有16！

第一道考验仪式：任意两个数都能比较大小

　　9和16面面相觑，这不是废话吗？是个数都能比较大小吧？痘疤

　　大祭司哈哈一笑，道：“我知道你们在想什么。事实上，并不是所有数都能比较大小的！”

　　“那么，什么情况下两个数不能比较大小呢？”小9怯生生地问道。

　　“当你们不是同一条战线上的时候，自然就不能比较大小啦！比如虚数阵营的数，当然就无法和实数阵营的数作比较啦！”

　　大祭司说得不是很准确，实际上，虚数和虚数之间也不能比较大小。

　　占卜水晶准确地显示出了，16比9大。看来是通过了。但是16心中又生出一个疑惑：

　　“大祭司，如果我们相等，是不是就不合格了？”

　　大祭司微微一笑，“非也非也！光通维持率只要能进行比较，那就算通过，无论结果如何。淘宝网返利”

第二道考验仪式：任意两个数都能进行运算和逆运算；运算满足一定的规律

“逆运算是啥？”16奇怪地问道。

　　“道家的思想家认为，世间万物都有其对立面。加法的对立面就是减法，乘法的对立面就是除法……”

　　“大祭司大祭司！我发现了华点！”小9高高地举起手来羽毛球教学，“如果一个数集有0，那么这个数集就一定不合格咯？毕竟谁也不能除以零。”

　　“不是这样的，不然零就太可怜啦……”大祭司苦笑道，“进行的运算本身必须要有逻辑啊！除以零这个运算本身是没有意义的。”

　　占卜球显示9+16=25，封闭；9-16=-7，不封闭；9x16=144，封闭；9÷16=0.5625，不封闭；……

　　“封闭又是什么？”16问道。

　　大祭司目不转睛地盯着北亚水晶球：“封闭就是说，你们两个运算的结果，在你们所在的数集中能找到。比如25是正整数集里的成员，而-7不是。这个对你们升格为数系没有影响。只能说，你们这个正整数系，对于加法封闭，对于减法不封闭。”

　　“那个……我们算是合格了？”小9问道。

　　“啊等等！我差点忘了验证你们运算的规律！”

　　“规律？北京通州新房”

　　“比如加法、乘法的交换律结合律，还有乘法分配律。这些律法能保证你们成为数系后，还有法律维持数系国际空运的安定。嗯，看起来你们是有制定这些律法的，通过了！”

　　于是，正整数集通过了革命的考验，成为了光荣的数系一员。

　　成为了数系之后，蓝精灵国王终于能使用这个数系来进行计算啦！他拿着正整数系，认真的计算起来：

　　“城市A有500人，城市B有300人，城市C有600人，那么这三个城市就有1400人！”

　　王后很也很好奇地凑过来，兴致勃勃地问道：“那么，城市B比城市C多多少人呢？”

　　“那简单！”国王自信地说，“只要用300-600，我们就可以得到……呃，怎么我在正整数系上找不到结果！这什么破数系？！大祭司免费商城你给我出来！”

　　大祭司擦着冷汗就一路小跑到国王面前：“大王冤枉啊！您又没要求这个数系对于减法封闭，所以自然就不能保证这个数系里的成员进行减法运算后，一定能在这个数系里找到对应的结果了……”

　　“那就快给我弄个对加减乘除都封闭的数系来！”

　　几分钟后，国王拿到了有理数系。

　　“这个有理数系可厉害了！”大祭司自吹自擂起来，“不仅对于四倾销与反倾销则运算封闭，而且随便选取两个数，它们之间的数都有无穷多个，比天上的星星还多呢！”

　　“哦？真有这么厉害？”国王半信半疑。

　　大祭司见国王不相信，急忙拉过一张纸，画出一条直线，唾沫横飞地讲解起来：

　　“陛下您看，这个东西叫做一维数轴。只要是数篮球假动作系里的数，都能放在这上面比较大小。现在我在上面任意点两个点，来表示两个数。”

　　“咦？不是水晶球吗？”

　　大祭司没有普朗克粒子理会国王的疑问，在数轴下画上两个点。

　　“这两个点是9和16，如果我在他们正中间点一个点，那么这个点应该是（9+16）÷2=12.5——这是有理数系中的一员扳机社。然后我在12.5和16中间再点一点……”

　　国王不耐烦地打断了大祭司的计算：“行了行了我知道了。你想说的不就是‘一尺之棰，日取其半，万世不竭’吗？”

　　而王后却很兴奋地指道：“那是不是我在数轴上随便选两点，都能用有理数系计算出它们之间的距离啊！这太神奇了！”

　　大祭司抚了抚胡须，自得道：“王后您可以试着选一下。我觉得这个数系已经无懈可击了。”

　　王后点了两个点，道：“这个点叫A，数值为0；这个点叫B，数值为1。”

　　“它们之间的距离自然是1。”大祭司不假思索地答道。

　　“那我在B点垂直画一条距离为1的明朝那些事儿5线段，尽头叫C。那么AC的距离是多少？”

　　大祭司皱了皱眉，道：“虽然这个AC不在数轴上，但是个性化定制我们可以把AC旋转到数轴上，那么，AC的距离……距离……您稍等……”

　　大祭司掏出了水晶球，然而水晶球上却显示：

　　“1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212644121497099935831413222665927505592755799950501152782060571470109559971605970274534596862014728517418640889198609552329230484308714321450839762603……砰！”

　　水晶球炸了。

　　“噢不！这怎么可能！”大祭司痛苦地哀嚎起来，“这是魔鬼！魔鬼的距离！”

　　“魔鬼的距离”这个消不胫而走，吸引了所有的蓝精灵。大家一同开动脑筋，研究起水晶球为什么会爆炸。其中有个叫戴德金的吟游诗人提出了一个大胆的想法：

　　“有理数系在数轴上并不是连续的，任意点一点，有可能会点到空处！”

　　大祭司接见了这个年轻人，他鄙夷地问道：

　　“你说有理数系并不是连续的？那么你能证明吗？”

　　“Yes I can！”

　　说罢，年轻人撸起袖管，铺开草稿纸，蜜蜡脱毛画了一个短边为1的等腰直角三角形ABC。

　　“您看，这是一个直角三角形。根据勾股定理，我们可以得到AC的平方等于2。”

　　“不错！”

　　“那么这个AC是不是有理数系的成员呢？换句话说，这个AC的距离是不是一个有理数呢？”

　　“那是自然！”

　　“那好，我们先暂且认为AC是一个有理数。有理数系是这样的： \\left\\{ \\frac{a}{b}|a,b是整数,b\\ne0 \\right\\} 对吧？”

　　“那又如何？”

　　“这个 \\frac{a}{b} 一定是约分成最简形式了，如果没有，那就化简成最简形式，并命名为 \\frac{a}{b} 。因为最简形式的分数，所以ab一定互为质数；又因为这是这是实际存在的距离，所以ab一定是正整数。”

　　“对。”

　　“AC的平方= \\left( \\frac{a}{b} \\right万豪酒店集团)^{2}=\\frac{a^{2}}{b^{2}}=2

\\Rightarrow a^{2}=2b^{2}

\\Rightarrow a^{2}是偶数\\Rightarrow a是偶数

　　既然a是偶数，那么我设a=2c，c一定属于正整数系。

　　所以， 2\\times2c^{2}=2b^{2}

\\Rightarrow b^{2}是偶数\\Rightarrow b是偶数

　　前面我们已经证明，ab是互为质数的，但如果AC是有理数，那么ab就一定都是偶数，存在一个公约数2——所以ab不可能互为质数。这就证明，ab互质和AC是有理数是互相矛盾的，换句话说，AC不可能是有理数！”

　　大祭司不可锤子线置信地张大了嘴：“这、这不可能！”

　　“很遗憾阁下，这就是现实。我认为，即使有理数系有无穷多个数，但在数轴上任意取一点，那一点恰好是有理数的概率，也是无限趋近于0%的——在概率学上，低于1%概率发生的事件我们称为小概率事件，通常我们 成都航空职业技术倾向于 认为它不会发生。换句话说，我们是不可能在数轴上随机取到有理数的。”（PS：小概率事件还有一个性质：在无穷大的样本容量下必然发生）

　　大祭司无力地瘫坐在沙发里，眼神变得黯淡无光。

　　“别灰心啊祭司大人，”戴德金微笑道，“我们可以建立一个新的数系，它在数轴上是绝对连续的！”

　　“你说什么！”

　　“这个数系，我管它叫实数系R。我们可以把R左右分为AB两个数系，必然存在唯一的切点 x ，不比A数系所有数小，不比B数系所有数大。如果 x 属于A，那么它是A的最大数，否则是B的最小数。这就保证了不管怎么切，都不会切到空处。”

　　“哇哦！”大祭司的眼神再度焕发光彩，“可是……我们应该怎么才能对实数系中那些非有理数，也就是无理数进行计算呢？”

　　“我有个朋友和我说，可以用极限去计算。”

　　大祭司一下明白过来：“你是说，我们可以利用有理数无限稠密的特点来不断微分，从而得到一个无限接近那个无理数的有理数？”

　　“阁下果然机智过人！”

　　“能写个式子出来吗？”

　　“好的阁下。请看：

\\lim_{a \\rightarrow b}{f(x)}=b ”

　　大祭司瞬间一脸黑人问号：“等等！ f(x)=b 是函数我知道，前面那个 \\lim_{a \\rightarrow b} 是啥玩意儿？”

　　“这样吧！祭司大人您酒量如何？”

　　“很神奇，我每次只要喝上二十杯葡萄酒就会醉倒，不多不少。”

　　“那好，于是我们可以写出这样一个式子：

\\lim_{喝酒杯数x \\rightarrow 20}{f(喝酒杯数x)}=醉倒 ”

　　“很好，简明易懂。”

　　至此，蓝精灵王国打开了微积分的大门，科学行业突天使不在的12月飞猛进。

本文标签： 微积分从零开始教程